Bài toán 1 (Nguồn: Đề thi trường hè Lê Quý Đôn 2014)
Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta luôn có bất đẳng thức
$$k(a^4+b^4+c^4-3)\ge a^3+b^3+c^3+3abc-6$$.
*Cách tìm $k$.
Với $b=c=a=1$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Cho $b=c=x(\ne 1)$ thì $a=3-2x$. Khi đó bất đẳng thức trở thành
$$k\ge \dfrac{(3-2x)^3+2x^3+3x^2(3-2x)-6}{(3-2x)^4+2x^4-3} \\ \Leftrightarrow k\ge \dfrac{-4x+7}{3(3x^2-10x+13}$$.
Như vậy $k$ cần tìm chính là max$\dfrac{-4x+7}{3(3x^2-10x+13)}=\dfrac{2}{7}$ khi $x=\dfrac{1}{2}$.
*Có thể trình bày lời giải bài toán như sau:
Cho $b=c=\dfrac{1}{2}$, $a=2$ thì $k\geq \dfrac{2}{7}$.
Ta sẽ chứng minh
$$\dfrac{2}{7}(a^4+b^4+c^4-3)\ge a^3+b^3+c^3+3abc-6$$
Một chú ý rằng đối với chứng minh bất đẳng thức 3 biến đối xứng có dạng "đa thức"(tức là không chứa căn, phân thức) và có giả thiết dạng tổng hoặc tích thì phương pháp hiệu quả nhất là DỒN BIẾN
Đặt $f(a,b,c)=\dfrac{2}{7}(a^4+b^4+c^4-3)-(a^3+b^3+c^3+3abc-6)$.
Ta sẽ chứng minh
$f(a,b,c)\ge f(a,(b+c)/2,(b+c)/2)$. Thật vậy
$f(a,b,c)-f(a,(b+c)/2,(b+c)/2)=(b-c)^2 \left ( \dfrac{7b^2+10bc+7c^2}{28}+\dfrac{3a-b-c}{4} \right ) \ge 0$ do ta có thể giả sử $a=$max$\{a,b,c\}$.
Phần còn lại là chứng minh $f(a,(3-2a)/2,(3-2a)/2)\ge 0$.
Bài toán 2 (đại diện cho hai cách làm khác)
Tìm hằng số $k$ tốt nhất để
$$\left ( \dfrac{\sin x}{x} \right )^k \ge \cos x; \forall x\in (0;\frac{\pi}{2}) (2).$$
*Cách 1.
Ta có
$$(2)\Leftrightarrow k\ln \dfrac{\sin x}{x}\ge \ln \cos x \\ \Leftrightarrow k \le \dfrac{\ln \cos x}{\ln \frac{\sin x}{x}} \\ \Leftrightarrow k \le \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln \cos x}{\ln \frac{\sin x}{x}} $$.
Áp dụng Công thức Lôpitan ta có
$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln \cos x}{\ln \frac{\sin x}{x}}$
$=\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{x\sin^2x}{x\cos^2x-\sin x\cos x}$
$=\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{\sin^2x+2x\cos x\sin x}{\sin^2x-2x\cos x\sin x}$
$=\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{\cos x+2(\cos x-x\sin x)}{\cos x-2(\cos x-x\sin x)}=3$.
*Cách 2.
Ta có
$$\sin x \le x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120} \\ \cos x\ge 1-\dfrac{x^2}{2}$$
Do đó
$(2)\Rightarrow \left ( 1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{120}\right ) ^k \ge 1-\dfrac{x^2}{2}$.
Đặt $y=\frac{x^2}{2}$ ($y>0$). Khi đó ta có
$$f(y)-f(0)>0-y \\ \Leftrightarrow \dfrac{f(y)-f(0)}{y}\ge -1 \\ \Leftrightarrow f'(c)>-1 (c \in (0;y))$$.
Cho $y \to 0^+$ thì ta có
$$f'(0)\ge -1 \\ \Rightarrow k\le 3$$.
*VẤN ĐỀ: Chứng minh $\left ( \dfrac{\sin x}{x} \right )^k \ge \cos x; \forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$.
