Phân giác cắt đoạn nối trực tâm và trung điểm cạnh đáy

Bổ đề: Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ có trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $BC$. Phân giác góc $A$ cắt $HM$ tại $K$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $AB$, $AC$. Khi đó $H$, $E$, $F$ thẳng hàng.

Chứng minh

Cũng như nhiều bài toán hình học khác, trong bài này ta sẽ công nhận kết quả rồi đi chứng minh giả thiết.
Từ $H$ ta kẻ đường thẳng vuông góc với $AK$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$.
Dựng đường cao $CC'$, $BB'$ của $\triangle ABC$.
Dựng đường kính $AD$ của $(O)$. Dễ chứng minh $HBDC$ là hình bình hành, từ đó có $H$, $D$, $M$ thẳng hàng.
Gọi $R$ là giao điểm khác $D$ của $HM$ và  $(O)$. Khi đó $ARC'B'$ nội tiếp.
Để có $AREF$ nội tiếp (khi đó $KE \bot AB$...) ta sẽ chứng minh $\triangle RC'E \sim \triangle RB'F$, muốn vậy ta chứng minh $\dfrac{RC'}{C'E}=\dfrac{RB'}{B'F}$.
Ta có $\triangle HC'E \sim \triangle HB'F$, $\triangle HC'B \sim \triangle HB'C$, $\triangle RC'B \sim \triangle RB'C$.
Do đó $\dfrac{EC'}{B'F}=\dfrac{HC'}{HB'}=\dfrac{BC'}{CB'}=\dfrac{RC'}{RB'}$. $\blacksquare$