Một bổ đề

Bài toán
Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua $A$, $C$ kẻ đường thẳng $d$, $d'$ vuông góc với $AC$. Điểm $M$ di động trên $d'$, qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MD$, $ME$ với $(AB)$ ($D$, $E$ là tiếp điểm). $P$, $Q$ lần lượt là giao của $MD$, $ME$ với $d$. Khi đó
$$\fbox{AP.AQ không đổi}$$

   Chứng minh

 

Dễ chứng minh $DE$ đi qua điểm $S$ cố định khi $M$ di chuyển.

Qua $S$ kẻ đường thẳng song song với $d$ cắt $BD$, $BE$ tại $R$, $T$.

Chú ý rằng tứ giác $DRET$ nội tiếp do $\widehat{EDR}=\widehat{EAB}=\widehat{ETS}$ nên $SR.ST=SD.SE=SA.SB$, không đổi.

Ta có $\triangle APO \sim \triangle SRB$, $\triangle AQO \sim \triangle STB$ nên

$$\dfrac{AP}{AO}=\dfrac{SR}{SB} \\ \dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{ST}{SB} \\ \Rightarrow \dfrac{AP.AQ}{AO^2}=\dfrac{SR.ST}{SB^2} \\ \Rightarrow AP.AQ=\dfrac{SR.ST.AO^2}{SB^2}.\blacksquare$$

Ứng dụng

Gọi thêm $G$, $H$ là giao của $BD$, $BE$ với $d$. Chứng minh $(BHG)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $d'$.