$(a^n-1,a^m-1)=a^{(m,n)}-1$

Ta sẽ đi chứng minh bổ đề
Cho m, n là các số nguyên dương, a là số nguyên lớn hơn 1.Khi đó
$$(a^n-1,a^m-1)=a^{(m,n)}-1$$
Đặt $$t=(a^n-1,a^m-1)$$
*Trước hết ta sẽ chứng minh: Nếu $b|a^m-1$ và $b|a^n-1$ thì $b|a^{(m,n)}-1$.
Nhận xét: $(a,b)=1$.
Xin nêu ra bổ đề sau mà không chứng minh
Cho $m$, $n$ là hai số nguyên dương có $(m,n)=d$. Khi đó tồn tại $x,y\in\mathbb{Z^+}$ để $mx-ny=d$.
Trở lại bài toán ta có $b|a^{mx}-1$ và $b|a^{ny}-1$.
Do đó $b|a^{nx}(a^{mx-ny}-1)$, do $(a,b)=1$ nên $b|a^d-1$.
Dẫn đến $t|a^d-1$                  (1)
*Lại có $a^d-1|a^n-1$ và $a^d-1|a^m-1$ nên $a^d-1|t$                      (2)
Từ (1) và (2) suy ra $t=a^d-1$ tức là
 $$(a^n-1,a^m-1)=a^{(m,n)}-1$$.