Chứng minh định lí Stolz

A. Chứng minh sơ cấp Định lý Stolz
 Nguồn: http://egaloism.blogspot.com/2013/07/chung-minh-so-cap-inh-ly-stolz.html 

Định lí Stolz được phát biểu như sau
 
Nếu 2 dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ đồng thời thỏa mãn

$$\left\{ \begin{array}{l} y_{n+1} > y_n; \forall n\in \mathbb{N^*} \\ \lim y_n=+\infty \\ \lim \dfrac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=A \end{array} \right. $$

Khi đó $\lim \dfrac{x_n}{y_n}=A$.

Chứng minh

Trước hết ta có nhận xét rằng $\forall \varepsilon >0$ thì luôn tồn tại $ n_o \in \mathbb{N^*}$ sao cho $\forall n > n_o$ ta luôn có 
$$A-\varepsilon \leq \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\leq A+\varepsilon (1)$$ 
Lấy $k>n_o$, khi đó $(1)$ tương đương với
$$\left (  A-\varepsilon \right )\left ( y_n-y_{n-1} \right )\leq x_n-x_{n-1}\leq \left ( A+\varepsilon \right )\left ( y_n-y_{n-1} \right )\\ \Leftrightarrow \left ( A-\varepsilon \right )\sum_{i=n_o}^{k}\left ( y_i-y_{i-1} \right ) \leq \sum_{n_o}^{k}\left ( x_i-x_{i-1} \right ) \leq \left ( A+\varepsilon \right )\sum_{i=n_o}^{k}\left ( y_i-y_{i-1} \right ) \\ \Leftrightarrow \left ( A-\varepsilon  \right )\left ( y_k-y_{n_o} \right ) \leq x_k-x_{n_o} \leq \left ( A+\varepsilon \right )\left ( y_k-y_{n_o} \right ) \\ \Leftrightarrow \left ( A-\varepsilon \right ) \left ( 1-\dfrac{y_{n_0}}{y_{k}} \right ) + \dfrac{x_{n_o}}{y_k} \leq \dfrac{x_k}{y_k} \leq \left ( A+\varepsilon \right ) \left( 1- \dfrac{y_{n_0}}{y_{k}} \right ) +\dfrac{x_{n_o}}{y_k} $$.

Chú ý rằng $\lim \left ( \left ( A-\varepsilon \right ) \left ( 1-\dfrac{y_{n_0}}{y_{k}} \right ) + \dfrac{x_{n_o}}{y_k} \right) = \lim \left ( \left ( A+\varepsilon \right ) \left ( 1-\dfrac{y_{n_0}}{y_{k}} \right ) + \dfrac{x_{n_o}}{y_k} \right) = A$ ( do $\varepsilon $ ta có thể chọn nhỏ tùy ý và $\lim y_n = +\infty $ ).   
Theo nguyên lí kẹp ta có $\lim \dfrac{x_k}{y_k}=A$ tức là $\lim \dfrac{x_n}{y_n}=A. \ \ \blacksquare $